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Qual é a probabilidade neutra de risco?

Descobri como fixar o preço das opções europeias e tropeçei num termo e numa equação que não compreendi:

Se assumirmos que os investidores são indiferentes ao risco e que os rendimentos esperados de todos os activos são iguais. No caso de investir em acções, por ptobabilidade neutra em termos de risco, o retorno da detenção das acções, tendo em conta as possibilidades de subida e descida do estado, seria igual à taxa sem risco continuamente acumulada esperada na próxima etapa, como se segue :

James Ma Weiming em Mastering Python for Finance, p76

d)

O que é a probabilidade neutra de risco q*?

Não tenho a certeza do que são u* e d* mas penso que é a probabilidade de o stock subir ou descer. e definitivamente não sei o que é

.

Na Wikipedia encontrei :

Em finanças matemáticas, uma medida neutra de risco, (também chamada medida de equilíbrio, ou medida de martingale equivalente), é uma medida de probabilidade tal que cada preço de acção é exactamente igual à expectativa descontada do preço da acção sob esta medida.

E em Investopedia :

As probabilidades neutras de risco são probabilidades de resultados futuros ajustados ao risco, que são depois utilizadas para calcular os valores esperados dos activos. O benefício desta abordagem de preço neutro de risco é que, uma vez calculadas as probabilidades neutras de risco, estas podem ser utilizadas para fixar o preço de cada activo com base no seu payoff esperado. Estas probabilidades teóricas de neutralidade de risco diferem das probabilidades reais do mundo real; se estas últimas fossem utilizadas, os valores esperados de cada título teriam de ser ajustados para o seu perfil de risco individual.

De facto, talvez eu estivesse errado. De facto: a secção seguinte era sobre saber se estas fórmulas também eram relevantes para o futuro.

De facto, segundo o autor :

Ao contrário de investir em acções, os investidores não têm então de fazer um pagamento adiantado para poderem contar uma opção num contrato de futuros. Num sentido neutro de risco, a taxa de crescimento esperada da detenção de um contrato de futuros é zero e o pagamento pode ser escrito da seguinte forma :

d)

Portanto

No entanto, com pu=1,2 e pd=0,8, a probabilidade para cima e para baixo, eu deveria ter tido : q= 0,5.

Mas eis o que o autor obteve :

Fonte

Respostas (1)

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2017-06-23 17:11:44 +0000

Na verdade, já fez várias perguntas, por isso penso que o que vou fazer é dar-lhe uma intuição sobre preços neutros em termos de risco para começar. Depois penso que a resposta a muitas das suas perguntas se tornará clara.

Probabilidade Física

Existe alguma probabilidade de cada evento lá fora ocorrer de facto, incluindo o preço de uma acção a subir. É a isto que chamamos a probabilidade física*. É muito intuitiva, mas não é directamente útil para encontrar o preço de algo porque o preço não é a média ponderada dos resultados futuros. Por exemplo, se tiver uma acção que está altamente correlacionada com o mercado e tem 50% de probabilidade de valer $20 dólares amanhã e 50% de probabilidade de valer $10, o seu valor hoje não é de $15. Valerá menos, porque é uma acção de risco e deve ganhar um prémio.

Quando estiver a lidar com probabilidades físicas, se quiser calcular o valor tem de tomar a média ponderada de probabilidades de todos os preços que poderá ter amanhã e depois adicionar algum tipo de compensação pelo risco, o que pode ser difícil de calcular.

Probabilidade de risco neutra

A teoria financeira mostrou que, em vez de calcular valores desta forma, podemos incorporar a compensação de risco nas nossas probabilidades. Ou seja, podemos criar uma nova configuração de “probabilidades” ajustando a probabilidade de bons resultados de mercado para baixo e aumentando a probabilidade de maus resultados de mercado. Isto pode parecer uma loucura porque estas probabilidades já não são físicas, mas tem a propriedade desejável de usarmos então este conjunto de probabilidades ao preço de cada activo: todos eles (acções, opções, obrigações, contas poupança, etc.). Chamamos a estas probabilidades ajustadas que probabilidades neutras de risco. Quando eu digo *preço*** quero dizer que se pode multiplicar cada resultado pela sua probabilidade neutra de risco e desconto à taxa livre de risco para encontrar o seu preço correcto.

Para ser claro, alterámos a probabilidade de o mercado subir e descer, não a nossa probabilidade de uma determinada acção se movimentar independentemente do mercado. Como as movimentações independentes do mercado não afectam os preços, não temos de ajustar as probabilidades de elas acontecerem para obter probabilidades neutras de risco.

De qualquer modo, a melhor maneira de pensar em probabilidades neutras de risco é como um conjunto de probabilidades falsas que dão consistentemente o preço correcto de cada activo na economia sem ter de acrescentar um prémio de risco. Se nos limitarmos a tomar a média ponderada de probabilidades neutras de risco de todos os resultados e descontos à taxa sem risco, obtemos o preço. Muito útil se os tivermos.

Preço neutro de risco

Não podemos obter probabilidades neutras de risco da investigação sobre a probabilidade de um stock subir ou descer. Essa seria a probabilidade física. Em vez disso, podemos descobrir as probabilidades neutras de risco a partir dos preços.

Se uma acção tiver apenas dois preços possíveis amanhã, U e D, e a probabilidade neutra de U for q, então

Preço = [Uq + D(1-q)] / e^(rt)

O exponencial lá é apenas descontado pela taxa livre de risco. Este é o início das equações que mencionou. O principal a lembrar é que q não é a probabilidade física, mas sim a neutra em relação ao risco. Não posso enfatizar isso o suficiente. Se tiver predefinido o que U e D podem ser, então existe apenas um desconhecido nessa equação: q. Isso significa que pode olhar para o preço da acção e resolver para a probabilidade neutra de risco de a acção subir.

A razão pela qual isto é útil é que pode a mesma probabilidade neutra de risco de preço da opção associada. No caso da opção, não se sabe o seu preço hoje (ainda) mas sabe-se quanto dinheiro valerá se a acção subir ou descer. Use esses valores e a probabilidade neutra de risco que calculou a partir da acção para calcular o preço da opção. É o que está a acontecer aqui.

Para lembrar: a mesma probabilidade neutra de risco mede os preços de tudo o que está lá fora. Ou seja, se escolher um activo, multiplicar cada resultado possível pela sua probabilidade neutra de risco, e desconto à taxa livre de risco, obtém-se o seu preço. Em geral, usamos preços de coisas que sabemos para inferir coisas sobre a medida da probabilidade neutra ao risco, a fim de obter preços que não conhecemos.
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