Qual é a fórmula para o pagamento mensal de uma hipoteca de taxa ajustável?

Numa hipoteca de taxa ajustável (ARM), a taxa de juro inicial é garantida por um determinado período. Após este período, a taxa pode subir ou descer.

O pagamento mensal destes empréstimos é calculado como se a taxa nunca tivesse mudado ao longo da vida do empréstimo. No entanto, se a taxa mudar, o pagamento mensal também muda para cobrir a alteração dos juros, de modo a que a hipoteca ainda seja paga no mesmo período de tempo.

Usando o seu exemplo, digamos que tem uma hipoteca de 25 anos que é uma ARM de 5 anos. A taxa de juro inicial é de 3%, o que significa que nos primeiros 5 anos, a sua taxa é fixada em 3%. O pagamento mensal para esses primeiros 5 anos é o mesmo que seria se tivesse uma hipoteca de taxa fixa de 25 anos a 3%. Aqui está a fórmula:

onde:

• P = pagamento mensal
• L = montante do empréstimo
• c = taxa de juro mensal. Esta é a taxa de juro anual dividida por 12.
• n = número de meses do empréstimo (anos * 12)

No nosso exemplo, se o empréstimo for $100.000, a taxa de juro é de 3% (taxa de juro mensal é 0,25%, ou 0,0025), e o número de meses é 300 (25 anos), o pagamento mensal será de $474,21.

Agora, 5 anos numa hipoteca de 25 anos, o calendário de amortização diz-nos que o capital restante será de $85.505,48.

Assim, se a taxa saltar para 4% nesse momento, o pagamento mensal será recalculado de modo a que o empréstimo ainda seja pago no prazo original de 25 anos. Para encontrar o novo pagamento, usar novamente a fórmula acima, mas desta vez L=$85.505,48, c=0,04/12=0,0033333, e n=20*12=240. O novo pagamento mensal é de $518,15.

Se, em vez disso, tivesse um empréstimo em que o pagamento seria constante durante todo o período do empréstimo, mas a taxa de juro muda durante o período (isto não é comum), há também uma fórmula para isso. Ver esta pergunta StackOverflow para os detalhes.

Normalmente, numa hipoteca de taxa variável, o pagamento variaria com a taxa. Contudo, aqui está uma fórmula para um pagamento fixo, (onde, como diz a OP, o ajustamento da taxa é conhecido antecipadamente):

d = (p r1 (1 + r1)^m r2 (1 + r2)^n)/
 (-r1 + (1 + r2)^n (r1 + (-1 + (1 + r1)^m) r2))

onde

d is the periodic payment
p is the loan amount
r1 is the periodic rate for the first m periods
r2 is the periodic rate for the next n periods

Aqui está como a fórmula é derivada.

Primeiro, pegando num problema simplificado para mostrar o funcionamento de forma mais clara.

Digamos um empréstimo de £100.000 reembolsado por 5 pagamentos anuais. Os primeiros 2 anos a 3% e os 3 anos seguintes a 4%.

p = 100,000
r1 = 0.03
m = 2
r2 = 0.04
n = 3

O montante do empréstimo é igual à soma do valor actual dos pagamentos. Estes são os valores actuais dos pagamentos para cada período, descontados pela(s) taxa(s) de juros:-

pv1 = d/(1 + r1)
pv2 = d/((1 + r1) (1 + r1))
pv3 = d/((1 + r1) (1 + r1) (1 + r2))
pv4 = d/((1 + r1) (1 + r1) (1 + r2) (1 + r2))
pv5 = d/((1 + r1) (1 + r1) (1 + r2) (1 + r2) (1 + r2))

E p = pv1 + pv2 + pv3 + pv4 + pv5

Isto pode ser expresso como uma soma

e convertido numa fórmula por indução :

p = ((1 + r1)^-m (1 + r2)^-n (-d r1 + 
      d (1 + r2)^n (r1 + (-1 + (1 + r1)^m) r2)))/(r1 r2)

Rearranging para dar uma fórmula para o pagamento:

d = (p r1 (1 + r1)^m r2 (1 + r2)^n)/
 (-r1 + (1 + r2)^n (r1 + (-1 + (1 + r1)^m) r2))

∴ d = 22078.67

Tabela de amortização para o resultado acima mostrando números e fórmulas

Voltando ao exemplo da OP para, digamos, um empréstimo de um milhão, com a taxa de juro efectiva a 3% para os primeiros 5 anos e 4% para os 20 anos seguintes.

p = 1,000,000
r1 = (1 + 0.03)^(1/12) - 1 = 0.00246627
m = 5*12 = 60
r2 = (1 + 0.04)^(1/12) - 1 = 0.00327374
n = (25 - 5)*12 = 240

O pagamento d = 5026.48

Nota para a utilização de taxas nominais*

Para taxas de juro nominais de 3% e 4% mensais compostas:

p = 1,000,000
r1 = 0.03/12 = 0.0025
m = 5*12 = 60
r2 = 0.04/12 = 0.00333333
n = (25 - 5)*12 = 240

O pagamento d = 5057.80