Porque é que as opções ao estilo americano valem mais do que as opções ao estilo europeu?

Lamento, mas a sua matemática está errada. Não é igualmente provável que ganhe tanto dinheiro ao esperar pela expiração.

Os preços das acções estão em constante movimento em ambos os sentidos. Muito raramente qualquer acção sobe ou desce a direito. Considere uma acção com um preço de acção de $12 hoje. Talvez esse stock seja uma má compra, e dentro de 1 mês estará reduzido a $10. Mas o mercado ainda não se apercebeu disso, e durante a semana seguinte, o valor sobe para $15.

Se comprou uma opção europeia (digamos, uma compra a dinheiro, com vencimento dentro de 1 mês, a $12 na nossa data de início), então perdeu. A sua opção expirou sem valor.

Se comprou uma opção americana, poderia tê-la exercido quando o preço da acção era de $15 e ter feito um bom lucro.

Tenha em mente que estamos a falar exactamente da mesma acção, com exactamente a mesma história, durante exactamente o mesmo período de tempo. A única diferença é o contrato de opção. A opção americana poderia ter-lhe feito dinheiro, se o tivesse exercido em qualquer altura durante o rally, mas não a opção europeia - teria sido forçado a agarrar-se a ela durante um mês e finalmente deixá-la expirar sem valor.

(Claro que isso não é estritamente verdade, uma vez que a opção europeia em si pode ser vendida enquanto está no dinheiro - mas eventualmente, alguém vai acabar por segurar o saco, ninguém o pode exercer até à expiração).

A diferença entre uma opção americana e europeia é a diferença entre obter N hipóteses de a obter (N sendo o número de dias ‘até à expiração) e obter apenas uma hipótese. Deve ser fácil ver porque é que é mais provável lucrar com a primeira, mesmo que não se consiga prever com precisão o movimento dos preços.

Uma opção é um instrumento que lhe dá o “direito” (mas não a obrigação) de fazer algo (se for longo).

Uma opção americana dá-lhe mais “direitos” (a exercer em mais dias) do que uma opção europeia.

Quanto mais “direitos”, maior é o valor (teórico) da opção, sendo todas as outras coisas iguais, claro. É exactamente assim que as opções funcionam.

Poderia apontar para um resultado ex post, e dizer que não é esse o caso. Mas é verdade ex ante.

De acordo com o livro de Hull, as chamadas americanas e europeias sobre acções que não pagam dividendos devem ter o mesmo valor. Os puts americanos, no entanto, devem ser iguais ou mais valiosos do que os put europeus.

A razão para isto é o valor temporal do dinheiro. Numa put, obtém-se a opção de vender uma acção a um determinado preço de greve. Se exercer esta opção a t=0, recebe o preço de greve a t=0 e pode investi-lo à taxa sem risco. Imaginemos que a taxa rf é 10% e o preço de exercício é de 10$. isto significa que a t=1, receberia 11,0517$. Se, por outro lado, não exercesse a opção antecipadamente, a t=1 receberia simplesmente o preço de greve (10$). Basicamente, o preço de greve, que é o seu pagamento por uma opção de venda, não ganha juros.

Outra forma de ver isto é que uma opção é composta por dois elementos: O elemento “seguro” e o valor temporal da opção. O elemento “seguro” é o que se paga para se ter a opção de comprar uma acção a um determinado preço. Para opções de venda, é igual ao payout= max(K-S, 0) onde K=Preço de Exercício e St=Preço de Bolsa. O valor temporal da opção pode ser pensado como um risco-premium. É a diferença entre o valor da opção e o elemento de seguro.

Se os benefícios de exercer uma opção de venda antecipadamente (i.e. ganhando a taxa sem risco sobre os lucros) superam o valor temporal da opção de venda, esta deve ser exercida antecipadamente.

Uma outra forma de ver isto é olhando para os limites superiores das opções de venda. Para uma put europeia, o valor actual da opção nunca poderá valer mais do que o valor actual do preço de exercício descontado à taxa sem risco. Se esta regra não for respeitada, haveria uma oportunidade de arbitragem, simplesmente investindo à taxa sem risco. Para um put americano, uma vez que pode ser exercido em qualquer altura, o valor máximo que hoje pode ser tomado é simplesmente igual ao preço de greve. Portanto, uma vez que o PV do preço de greve é menor que o preço de greve, o put americano pode ter um valor maior.

Tenha em mente que isto é para um stock que não paga dividendos. Como mencionado anteriormente, se uma acção paga um dividendo, também pode ser óptimo exercê-lo imediatamente antes de estes serem pagos.

Se gosta de matemática, faça esta experiência de pensamento:

Considere o resultado X de um processo de passeio aleatório (uma acção não se comporta desta forma, mas para compreender a pergunta que fez, isto é útil):

No primeiro dia, X=algum número inteiro 1 . Em cada dia seguinte, X sobe ou desce por 1 com probabilidade ½.

Vamos pensar em comprar uma opção de compra sobre X. Uma opção europeia com um preço de greve de S que expira no dia N, se mantida até esse dia e depois exercida se rentável, renderia um valor Y = min(X[N]-S, 0). Isto tem um valor esperado E[Y] que se poderia efectivamente calcular. (deve estar relacionado com a distribuição binomial, mas a minha probabilidade & estatística não está a funcionar muito bem hoje em dia) O valor de mercado V[k] dessa opção no dia #k, onde 1 \\i1, deve ser V[k]= E[Y]|X[k], que também se pode efectivamente calcular. No dia #N, V[N] = Y. (o valor é conhecido)

Uma opção americana, se mantida até ao dia #k e depois exercida se rentável, produziria um valor Y[k] = min(X[k]-S, 0).

Por agora, esqueça a venda da opção no mercado. (por isso, as escolhas são exercê-la em algum dia #k, ou deixá-la expirar)

Digamos que é dia k=N-1.

Se X[N-1] >= S+1 (no dinheiro), então tem duas escolhas: exercer hoje, ou exercer amanhã se for rentável. O valor esperado é o mesmo. (Ambos são iguais a X[N-1]-S). Portanto, mais vale exercitá-lo e fazer uso do seu dinheiro noutro lugar.

Se X[N-1] <= S-1 (fora do dinheiro), o valor esperado é 0, quer faça exercício hoje, quando sabe que não vale nada, ou se esperar até amanhã, quando o melhor caso é se X[N-1]=S-1 e X[N] sobe para S, portanto a opção continua a não valer nada.

Mas se X[N-1] = S (no dinheiro), é aqui que a opção fica interessante. Se se exercer hoje, vale 0. Se se esperar até amanhã, há ½ hipótese de valer 0 (X[N]=S-1), e ½ hipótese de valer 1 (X[N]=S+1). Aha! Portanto, o valor esperado é ½. Portanto, deve-se esperar até amanhã.

Agora digamos que é o dia k=N-2.

Situação semelhante, mas mais escolhas: Se X[N-2] >= S+2, pode vendê-lo hoje, caso em que sabe o valor = X[N-2]-S, ou pode esperar até amanhã, quando o valor esperado é também X[N-2]-S. Mais uma vez, pode muito bem exercê-lo agora.

Se X[N-2] <= S-2, sabe que a opção não vale nada.

Se X[N-2] = S-1, vale 0 hoje, enquanto que se esperar até amanhã, ou vale ½ se subir (X[N-1]=S), ou 0 se descer, para um valor líquido esperado de ¼, pelo que deve esperar.

Se X[N-2] = S, vale 0 hoje, enquanto que amanhã vale 1 se subir, ou 0 se descer -> valor líquido esperado de ½, pelo que deve esperar.

Se X[N-2] = S+1, vale 1 hoje, enquanto amanhã ou vale 2 se subir, ou ½ se descer (X[N-1]=S) -> valor líquido esperado de 1,25, pelo que deve esperar.

Se é dia k=N-3, e X[N-3] >= S+3 então E[Y] = X[N-3]-S e deve exercê-lo agora; ou se X[N-3] <= S-3 então E[Y]=0.

Mas se X[N-3] = S+2 então há um valor esperado E[Y] de (3+1,25)/2 = 2. 125 se esperar até amanhã, vs. exercê-lo agora com um valor de 2; se X[N-3] = S+1 então E[Y] = (2+0,5)/2 = 1,25, vs. valor de exercício de 1; se X[N-3] = S então E[Y] = (1+0,5)/2 = 0,75 vs. valor de exercício de 0; se X[N-3] = S-1 então E[Y] = (0. 5 + 0)/2 = 0,25, vs. valor de exercício de 0; se X[N-3] = S-2 então E[Y] = (0,25 + 0)/2 = 0,125, vs. valor de exercício de 0. (Em todos os 5 casos, aguarde até amanhã. )

Pode continuar assim; a fórmula de recorrência é E[Y]|X[k]=S+d = {(E[Y]|X[k+1]=S+d+1)/2 + (E[Y]|X[k+1]=S+d-1) para N-k > d > -(N-k), quando deve esperar para ver} ou {0 para d <= -(N-k), quando não importa e a opção não vale nada} ou {d for d >= N-k, quando se deve exercer a opção agora}.

O valor market da opção no dia #k deve ser o mesmo que o valor esperado para alguém que a possa exercer ou esperar.

Deve ser possível mostrar que o valor esperado de uma opção americana em X é superior ao valor esperado de uma opção europeia em X. *A razão intuitiva é que se a opção está no dinheiro por uma quantia suficientemente grande que não é possível estar fora do dinheiro, a opção deve ser exercida cedo (ou vendida), algo que uma opção europeia não permite, enquanto que se está quase no dinheiro, a opção deve ser mantida, enquanto que se está fora do dinheiro por uma quantia suficientemente grande que não é possível estar no dinheiro, a opção é definitivamente inútil. *

No que diz respeito a títulos reais, não são passeios aleatórios (ou pelo menos, as probabilidades são variáveis no tempo e mais complexas), mas deveria haver situações análogas. E se alguma vez houver uma elevada probabilidade de um título descer, é altura de exercer/vender um opção americana in-the-money, enquanto que não se pode fazer isso com uma opção europeia.

edit* : …o que sabe: o cálculo que dei acima para o passeio aleatório não é muito diferente conceptualmente do modelo Binomial options pricing model .

As diferenças de liquidez explicam porque é que as opções ao estilo americano valem geralmente mais do que as suas homólogas ao estilo europeu. Tanto quanto posso dizer, ninguém mencionou liquidez na sua resposta a esta pergunta, apenas introduziram matemática e lógica desnecessariamente complexas, ignorando ao mesmo tempo princípios económicos básicos. Isto não quer dizer que as respostas anteriores estejam todas erradas - apenas lidam com factores periféricos em vez da causa central.

Liquidez é um factor determinante dos preços/avaliações nos mercados financeiros. A liquidez descreve simplesmente a facilidade com que um activo pode ser comprado e vendido (convertido em dinheiro). Sem entrar nas razões pelas quais, os títulos do tesouro são um dos títulos mais líquidos - podem ser comprados ou vendidos quase instantaneamente em qualquer altura por um preço exacto. A liquidez quase perfeita dos títulos do tesouro é uma das principais razões pelas quais o preço (rendimento) de um título “t” será sempre mais elevado (rendimento mais baixo) do que o de um título empresarial ou municipal de outro modo idêntico. Em termos gerais, um activo relativamente líquido vale sempre mais do que um activo relativamente ilíquido, sendo tudo o resto igual.

O valor da liquidez é fácil de compreender - experimentamo-lo todos os dias na vida real. Se estiver a comprar uma casa ou um carro, a capacidade de o revender, se necessário, é uma componente importante da decisão. É o mesmo para os investidores - a maioria das pessoas preferiria um activo que pudesse ser liquidado rápida e facilmente se surgir a necessidade de dinheiro.

Não é diferente com opções. As opções ao estilo americano permitem ao titular exercer (liquidar) em qualquer altura, enquanto que o comprador de uma opção europeia tem o seu dinheiro vinculado até uma data específica. Obviamente, raramente faz sentido exercer uma opção antecipadamente em termos de rendimentos líquidos, mas por vezes um investidor tem uma necessidade desesperada de dinheiro e esta necessidade compensa a redução dos lucros líquidos do exercício antecipado.

Pode argumentar-se que esta vantagem de liquidez é eliminada pelo facto de se poder negociar (vender) qualquer tipo de opção sem restrições antes de expirar, fechando assim a posição longa. Este é um ponto válido, mas ignora o facto de que há sempre um comprador do outro lado de uma transacção de opção, o que significa que a posição longa, e o direito/restrição de exercício antecipado, nunca é eliminado, simplesmente muda de mãos. Segue-se que a vantagem de liquidez ao estilo americano aumenta um valor de mercado de opções independentemente da posição (call/put ou short/long).

Sem colocar um número exacto, a taxa de juro geral (valor temporal do dinheiro) poderia ser utilizada para aproximar o custo adicional de uma opção ao estilo americano em relação a um contrato semelhante ao estilo europeu.

Opções de venda

Porque é que as opções ao estilo americano valem mais do que as opções ao estilo europeu?

• O preço máximo das opções de venda americanas é superior ao preço máximo das opções de venda europeias. & - O preço mínimo para opções de venda americanas é mais elevado do que o preço mínimo para opções de venda europeias.

• Para ilustrar:

Suponha que uma acção está a vender a $40, e nós temos uma opção de venda com preço de greve de $50.

American puts*

• O preço mínimo de uma opção de venda americana é a diferença entre o preço de exercício e o preço da acção (ou seja, o valor intrínseco). No nosso caso, o valor mínimo da opção de venda americana é de $10 (i.e. $50 - $40). Se este não fosse o caso (ou seja, se o preço de venda for inferior a $10), seria possível fazer uma arbitragem através da compra de put e exercê-las imediatamente. Por exemplo, se as put custassem $7, poderíamos comprar as acções (-$40), comprar uma put (-$7), e imediatamente exercer a put (+$50), dando um lucro de $3.

• O preço máximo de uma opção de put americana é o preço de greve. No nosso caso, o valor máximo da opção de venda é de $50. O preço da opção de venda não pode ser maior do que o preço de greve. Quem vai pagar, digamos, 52 dólares pelo direito de venda a 50 dólares? Ninguém.

European puts*

• Em contraste com as opções americanas, o preço mínimo de uma opção de venda europeia pode ser inferior à diferença entre o preço de exercício e o preço das acções (ou seja, inferior ao valor intrínseco). Por exemplo, se o preço actual da acção for $40, uma opção de venda com preço de exercício de $50 pode vender a $9. Porquê?

• Em contraste com as opções americanas, o máximo preço de uma opção de venda europeia é inferior ao preço de exercício. Porquê? Suponha que não era este o caso e o preço de uma opção de venda é exactamente igual ao preço de exercício (por exemplo $50). Neste caso, pode-se vender a opção de venda (+$50), e colocar o produto numa conta bancária para ganhar juros. Por exemplo, seria possível vender, lotes de put (por exemplo +$1 bilião), comprar acções suficientes para cobrir as put (por exemplo -$800 milhões), e colocar os rendimentos ($200 milhões) numa conta bancária para ganhar juros. Os empréstimos gratuitos não são supostos acontecerem. Por conseguinte, o preço máximo de uma opção de venda europeia tem de ser inferior ao preço de greve.

Opções de compra

Os preços máximo e mínimo são os mesmos tanto para as opções europeias como para as americanas. Para ilustrar:

Suponha que uma acção está a vender a $40, e nós temos uma opção de compra com preço de greve de $30.

• Quer seja europeu ou americano, o preço mínimo*** de uma opção de compra é superior à diferença entre o preço da acção e o preço de exercício (ou seja, mais do que o valor intrínseco). Se este não fosse o caso (ou seja, o preço da opção de compra é exactamente $10), seria possível encurtar o stock (+$40), comprar a opção de compra (-$10), e colocar os lucros ($30) numa conta bancária remunerada. Por exemplo, seria possível encurtar lotes de acções (por exemplo, +$1 bilião), comprar putings suficientes para cobrir a curto prazo (por exemplo -$250 milhões) e colocar os rendimentos em dinheiro ($750 milhões) numa conta bancária para ganhar juros sobre o dinheiro. Assim, o preço mínimo de uma opção de compra tem de ser apenas suficientemente alto para negar tal possibilidade (ou seja, o mínimo tem de ser maior do que a diferença entre o preço da acção e o preço de exercício).

• Quer seja europeu ou americano, o preço máximo* de uma opção de compra é o preço da própria acção subjacente. Se este não foi o caso (ou seja, a opção de compra custa mais do que a acção), pode-se simplesmente comprar a acção em vez de se preocupar com as opções. Afinal, porque é que alguém pagaria pelo direito de comprar uma acção se o próprio direito custa mais do que a própria acção?

Matematicamente falando, haverá alguma vez uma boa razão para exercer antecipadamente uma opção americana?

• Das ilustrações anteriores, deve ficar claro que uma opção americana nunca vende abaixo do seu valor intrínseco (se uma opção americana vendesse abaixo do seu valor intrínseco, poder-se-ia lucrar comprando a opção, e exercendo-a imediatamente).
• O preço de uma opção de preço consiste no valor intrínseco + valor temporal. Uma vez que o preço de uma opção americana nunca é inferior ao seu valor intrínseco, pode-se concluir que a componente de valor temporal de uma opção americana nunca é negativa.
• Há duas maneiras de dispor de uma opção antes de expirar: & - Exercício antecipado: Se se exerce uma opção americana antecipadamente, o ganho é igual apenas ao valor intrínseco. & - Venda: Se alguém vende a opção americana, o seu ganho inclui tanto o valor intrínseco como o valor temporal (que nunca é negativo).
• Uma vez que se ganhará sempre mais com uma venda do que com um exercício precoce, o exercício precoce não faz sentido.

Uma opção dá-lhe uma opção. Ou seja, não está a comprar nenhuma segurança - está simplesmente a comprar uma opção para comprar uma segurança. O único valor do que se compra é a opção para comprar algo.

Uma opção americana oferece mais flexibilidade - ou seja, oferece-lhe mais opções na compra do título. Uma vez que tem mais opções, o custo da opção é mais elevado.

É claro, um bom exemplo faz sentido porque é este o caso. Considere a VIX. As opções na VIX são ao estilo europeu. Por vezes os picos VIX são como loucos - triplicando de valor em dias. No entanto, normalmente regressa muito rapidamente - dentro de algumas semanas. Até agora, as opções sobre a VIX não valem apenas muito mais, porque a VIX provavelmente voltará ao normal. Contudo, se a pessoa pudesse tê-los exercitado correctamente quando chegou ao topo, teria feito uma fortuna muitas vezes mais do que a sua opção valia. Como são ao estilo europeu, porém, teriam de esperar até que a sua opção fosse resgatável, mesmo quando o VIX estivesse prestes a voltar ao normal. Neste caso, uma opção ao estilo americano seria muito mais valiosa - especialmente para algo que é difícil de prever, como a VIX.

O valor de uma opção tem 2 componentes, o elemento extrínseco ou de valor temporal e o valor intrínseco da diferença do preço de exercício e do preço do activo subjacente. Com uma opção americana ou europeia, o valor intrínseco de uma opção de compra pode ser “bloqueado” em qualquer altura através da venda do mesmo montante do activo subjacente (quer seja uma acção, um futuro, etc.).

Além disso, o valor temporal de qualquer opção pode ser monitarizado através da cobertura delta da opção, ou seja, comprando ou vendendo um montante do activo subjacente ponderado pela medida da certeza (delta) de que a opção está em dinheiro no vencimento.

Em vez disso, o valor extra da opção americana provém do benefício financeiro de poder realizar antecipadamente o valor do activo subjacente. Para um activo que paga dividendos, este será predominantemente o dividendo. Mas para acções ou futuros não pagadores de dividendos, o comprador de uma opção in-the-money pode realizar os seus ganhos intrínsecos sobre a opção antecipadamente e ganhar juros sobre os lucros hoje. Mas o que eles sacrificam é o valor temporal da opção.

Contudo, quando uma opção se torna muito “in-the-money” e o delta se aproxima de 1 ou -1, o desconto do valor intrínseco (ou seja, o montante extra que um fluxo de caixa futuro vale cada dia à medida que nos aproximamos do pagamento) torna-se maior do que a “theta” ou a decadência do valor temporal da opção. Depois, torna-se óptimo exercer antecipadamente, abandonar a opcionalidade e realizar os ganhos monetários antecipadamente.

Para uma acção sem pagamento de dividendos, o valor da opção de compra americana é na realidade o mesmo que o europeu. O preço à vista do stock será mais baixo do que o preço a prazo com desconto na expiração pela taxa sem risco (ou o seu custo de financiamento). Isto compensará exactamente o ganho monetário, exercendo antecipadamente e acumulando as receitas. Contudo, para uma opção sobre um futuro, o valor hoje do activo subjacente (o futuro) é o mesmo que no vencimento e é possível realizar plenamente os juros ganhos sobre o dinheiro recebido hoje. Por conseguinte, a opção de compra americana vale mais. Para ambos os exemplos, a opção de venda americana vale mais, um pouco mais para a acção. Como o preço à vista da acção é inferior ao preço a prazo, o proprietário da opção de venda realiza um lucro intrínseco mais elevado (não descontado) com a venda da acção ao preço de exercício mais elevado hoje do que esperar até à expiração, bem como a realização dos juros ganhos.

Liquidez pode influenciar o valor percebido de poder exercer antecipadamente, mas não é um factor tangível que é acrescentado às matemáticas habitualmente utilizadas na avaliação da opção, e não é realmente uma consideração para a maioria dos activos que têm mercados de opções negociáveis.

É também importante lembrar que em qualquer momento da vida da opção, não se conhece o caminho do preço futuro. Só se está a modelar a distribuição dos resultados prováveis. O que acontece subsequentemente após o exercício precoce de uma opção americana já não tem qualquer relação com o seu valor; isto é agora zero! Se a acção posteriormente cai no preço é irrelevante. O que é relevante é que quando se exerce cedo uma opção, “desiste” de todo o potencial lado positivo protegido pelo limite do seu lado negativo do preço de exercício.

Pense desta forma, se viajasse no tempo um mês - com perfeito conhecimento do preço das acções da AAPL durante esse período - o que acontece para atingir um pico violento e depois voltar ao seu preço antigo no final do período - não pagaria mais por uma opção americana?

Outra forma de pensar em opções é como uma apólice de seguro. Não pagaria mais por uma apólice que cobrisse as perdas por incêndios e terramotos, em vez de apenas as perdas por terramotos?

Por último - e talvez mais directamente - uma das razões mais comuns para as pessoas exercerem (em oposição à venda) uma opção americana antes de expirar é se um dividendo inesperado (maior do que o valor de tempo restante da opção) acabou de ser anunciado que vai ser pago antes de o contrato de opção expirar. Porque apenas os accionistas reais recebem os dividendos, não os detentores de opções. Um detentor de uma opção americana tem a capacidade de exercer a tempo de agarrar esse dividendo - um detentor de opção europeu não tem essa capacidade.

Menos flexibilidade (o que está a pagar realmente) = prémio de opção mais baixo.