O que significa o valor médio de retorno logarítmico de uma acção?

Os log-retornos são muito comummente utilizados em matemática financeira, especialmente em finanças quantitativas. A propriedade importante é que eles são simétricos em torno de 0 em relação à adição.

Esta propriedade faz com que seja possível falar de uma média de retorno.

Por exemplo, se um stock desce 20% durante um período de tempo, tem de ganhar 25% para estar de volta ao ponto de partida. Para o log-retorno, por outro lado, os números são 0,223 para baixo durante um período de tempo, e 0,223 para cima para voltar ao quadrado 1.

Neste sentido, pode simplesmente tomar uma média aritmética e faz sentido. Pode somar ou subtrair livremente valores na escala log-retorno, como taxas de log-interestação ou taxas de log-inflação. Enquanto que a média aritmética dos retornos (não logarítmicos) é simplesmente desprovida de sentido: Uma acção com retornos -3% e +3% teria 0% em média, quando na realidade o preço da acção diminuiu?

A abordagem correcta em relação aos retornos directos do preço seria tomar uma média diferente (por exemplo, geométrica) para obter uma média decente. No entanto, será difícil incorporar outras informações, como a subtracção da taxa sem risco ou a taxa de inflação para obter rendimentos médios ajustados pela taxa.

Resumindo: os retornos logarítmicos são mais fáceis de manusear computacionalmente, em especial a granel, mas os retornos não logarítmicos são mais fáceis de compreender/imaginar como um número próprio.

Provavelmente, a melhor maneira de investigar isto é olhar para um exemplo. Primeiro, como os comentadores acima já disseram, o log-retorno de um período é log(preço no tempo t/preço no tempo t-1) que é aproximadamente igual à mudança percentual no preço do tempo t-1 para o tempo t, provado que esta mudança percentual não é grande em comparação com o tamanho do preço. (Note que tem de utilizar o registo natural, isto é, registo na base e – botão ln numa calculadora – aqui).

A principal utilização do log-retorno é que é um proxy para a variação percentual do preço, que se revela ser matematicamente conveniente, por várias razões que já foram mencionadas na sua maioria nos comentários.

Mas já sabe isto; a sua pergunta real é sobre o log-retorno médio ao longo de um período de tempo. O que é que isto indica sobre o stock?

A resposta é: se o preço do stock não está a mudar muito, então o log-retorno médio é aproximadamente igual à mudança percentual média do preço, e é muito fácil e rápido de calcular. Mas se o preço da acção for muito volátil, então o logaritmo médio de retorno pode ser muito diferente da variação percentual média do preço.

Aqui está um exemplo: os preços de fecho do Pitchfork Oil da negociação da semana passada são: 10, 5, 12, 5, 10, 2, 15. As alterações percentuais são: 10, 5, 12, 5, 10, 2, 15: -0,5, 1,4, -0,58, 1, -0,8, 6,5 (onde -0,5 significa -50%, etc.) A variação percentual média é de 1,17, ou 117%. Por outro lado, os log-retornos para o mesmo período são -0,69, 0,88, -0,88, 0,69, -1,6, 2, e o log-retorno médio é de cerca de 0,068. Se utilizássemos isto como proxy para a variação percentual média do preço ao longo dos sete dias, obteríamos 6,8% em vez de 117%, o que é extremamente errado. A razão pela qual é errado é porque o preço flutuou tanto.

Por outro lado, os preços de fecho da United Marshmallow durante o mesmo período são 10, 11, 12, 11, 12, 13, 15. A variação percentual média de dia para dia é de 0,073, e o log-retorno médio é de 0,068, pelo que neste caso o log-retorno está muito próximo da variação percentual. E tem a vantagem de ser calculável apenas a partir do primeiro e último preços, porque as propriedades dos logaritmos implicam que se simplifica a (log(15)-log(10))/6. Note-se que isto é exactamente o mesmo que para o Pitchfork Oil.

Assim, uma razão pela qual poderá estar interessado no retorno médio dos logaritmos é que dá uma forma muito rápida de estimar o retorno médio, se o preço das acções não estiver a mudar muito.

Outra razão, mais subtil, é que se comporta de facto melhor do que a percentagem de retorno. Quando o preço de Pitchfork salta de 5 para 12 e depois cai de novo para 5, as variações percentuais são +140% e -58%, para uma média de +82%. Isso parece bom, mas se o tivesse comprado a 5, e depois vendido a 5, teria de facto ganho 0% com o seu dinheiro. Os log-retornos para o mesmo período não têm esta propriedade perturbadora, porque somam 0%.

Qual é a verdadeira diferença neste exemplo? Bem, se tivesse comprado $1 de Pitchfork na terça-feira, quando tinha 5 anos, e o tivesse vendido na quarta-feira, quando tinha 12 anos, teria feito um lucro de $1,40. Se tivesse comprado mais $1 na quarta-feira e vendido na quinta-feira, teria feito um prejuízo de $0,58. Globalmente, o seu lucro teria sido de $0,82. Isto é o que a percentagem média de retorno é calculada.

Por outro lado, se tivesse sido um investidor a longo prazo que tivesse comprado na terça-feira e aguentado até quinta-feira, então citar um “retorno médio” de 82% é altamente enganador, porque não corresponde de forma alguma ao retorno de 0% que realmente obteve!

A moral é que pode ser melhor olhar para os log-retornos se for um investidor do tipo buy-and-hold, porque os log-retornos cancelam quando os preços flutuam, enquanto as alterações percentuais no preço não o fazem. Mas o lado negativo disto é que o seu log-retorno médio durante um período de tempo não lhe dá muita informação sobre o que os preços têm feito, uma vez que é apenas (log(preço final) - log(preço inicial))/número de períodos. Uma vez que é tão fácil de calcular a partir dos próprios preços inicial e final, normalmente não o verá nas páginas financeiras, tanto quanto sei.

Finalmente, para responder à sua pergunta: “Será que conhecer esta única informação indica algo sobre o stock?”, eu diria: não realmente. Do ponto de vista deste único indicador, Pitchfork Oil e United Marshmallow parecem investimentos idênticos, quando claramente não o são. Conhecer o logaritmo médio de retorno é exactamente o mesmo que conhecer a relação entre o preço final e o preço inicial.

Saber o log return é útil - o log return pode ajudá-lo a calcular o retorno anual durante o período em que foi estimado - e isto deve ser comparável entre stocks.

Deve-se apenas ter cuidado com o cálculo, para que se tenha em conta os dividendos de forma sensata.